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Wärmekapazität von Gasen

Die spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases kann durch zwei verschiedene Bezugsgrößen ausgedrückt werden.

Dient als Bezugsgröße 1 Kg eines bestimmten Gases, so spricht man von der spezifischen Wärmekapazität. Hierbei kann die spezifische Wärmekapazität als die
Wärmemenge betrachtet werden, die notwendig ist, um 1 Kg eines Gases um 1 K zu erwärmen.

Dient als Bezugsgröße 1 kmol eines Gases, so spricht man von der molaren Wärmekapazität.

Weiterhin wird unterschieden zwischen der Wärmekapazität bei konstantem Druck bzw. bei konstantem Volumen.

cv spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
cp spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
cmv molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen
cmp molare Wärmekapazität bei konstantem Druck

Die Differenz der beiden spezifischen Wärmekapazitäten entspricht beim idealen Gas der speziellen Gaskonstanten Ri.

cp-cv = cons t= Ri

Das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten wird mit χ bezeichnet und berechnet sich wie folgt:

Isentropenexponent

Durch die Differenzbeziehung der spezifischen Wärmekapazitäten in Form der speziellen Gaskonstanten Ri ergibt sich eine Temperaturunabhängigkeit der Beziehung, obwohl die spezifischen Wärmekapazitäten für sich genommen temperaturabhängig sind.

cp - cv = const = Ri

Die molare Wärmekapazität eines idealen Gases lässt sich leicht mit Hilfe der molaren Masse M aus der spezifischen Wärmekapazität ableiten. Es gilt:

Isentropenexponent

Die Differenz der beiden molaren Wärmekapazitäten entspricht der molaren Gaskonstanten Rm auch allgemeine Gaskonstante genannt. Die molaren Wärmekapazitäten idealer Gase hängen nur von Rm und χ ab. χ als das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten bei idealen Gasen wird auch als Isentropenexponent bezeichnet.

Der Isentropenexponent für das Ideale Gas ist nur abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade der Teilchen, die wiederum davon abhängig ist, wie viele Atome ein Gas besitzt.

  FR χ cmv cmp
1 - atomig 3 5-drittel=1,6 cmv, einatomig cmp, einatomig
2 - atomig 5 7-fünftel=1,4 cmv, zweiatomig  

FR = Freiheitsgrade

Diese Modellvorstellungen gelten beim idealen Gas aber nur innerhalb bestimmter Grenzen. So ist z.B. beim zweiatomigen idealen Gas eine Modellgenauigkeit nur in der Größenordnung der normalen Raumtemperatur gegeben, da mit steigender Temperatur die beiden Atome auch innerhalb des Moleküls in Längs- und Querrichtung schwingen. hieraus ergibt sich:

cmv, cmp, höhere Temperaturen

Bei niedrigen Temperaturen kommt sowohl die Schwingungsbewegung wie auch die Rotationsbewegung zum Stillstand. Mit fallender Temperatur nähert sich somit die molare Wärmekapazität der Beziehung:

cmv, cmp bei tiefen temperaturen

Bei mehr als zweiatomigen idealen Gasen ist eine auf den Freiheitsgraden basierte einfache Methode nicht mehr möglich, da weitere Freiheitsgrade auftreten. Die Werte für χ = 1,333 auf Basis von 3-atomigen Gasen mit 6 Freiheitsgraden werden jedoch gelegentlich in der Literatur genannt

Zur Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazität kann folgende Gleichung verwendet werden.

mittlere spezifische wärmekapazität von t1 bis t2

Ein Beispiel soll die Verwendung veranschaulichen.
Die mittlere spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (1 bar) soll für Stickstoff in dem Temperaturbereich t1=200°C bis t2=1200°C berechnet werden.

cp200°C = 1,052 kJ/kgK, t1 = 200°C

cp1200°C= 1,242 kJ/kgK, t2 = 1200°C

cpm von t1-t2 beispiel


Gas Chemisches
Symbol
Molares Volumen Vmn
bei 0°C,
1,01325 bar [m3/kmol]
Molare Masse M in kg/kmol Spezielle Gaskonstante Ri
J/kg K
Allgemeine Gaskonstante
Rm
J/kmol K
χ = cp/cv
Acetylen C2H2 22,226 26,038 319,6 8314,4 1,268
Argon Ar 22,392 39,948 208,1 8314,4 1,667
Helium He 22,46 4,0026 2077,2 8314,4 1,657
Kohlendioxid CO2 22,261 44,0098 189 8314,4 1,301
Kohlenmonoxid CO 22,4 28,0104 297 8314,4 1,4
Luft --- 22,401 28,965 287,2 8314,4 1,4
Sauerstoff O2 22,392 31,99988 259,8 8314,4 1,397
Stickstoff N2 22,403 28,0134 296,9 8314,4 1,4
Wasserstoff H2 22,428 2,0158 4124,9 8314,4 1,409

Vmn : bei 0°C, 1,01325bar

χ : Isentropenexponent χ = cp/cv Werte in der Tabelle bei 0°C und idealem Gaszustand

Gas Vmn

M Ri
Rm
χ
Acetylen, C2H2 22,226 26,038 319,6 8314,4 1,268
Argon, Ar 22,392 39,948 208,1 8314,4 1,667
Helium, He 22,46 4,0026 2077,2 8314,4 1,657
Kohlendioxid, CO2 22,261 44,0098 189 8314,4 1,301
Kohlenmonoxid, CO 22,4 28,0104 297 8314,4 1,4
Luft 22,401 28,965 287,2 8314,4 1,4
Sauerstoff, O2 22,392 31,99988 259,8 8314,4 1,397
Stickstoff, N2 22,403 28,0134 296,9 8314,4 1,4
Wasserstoff, H2 22,428 2,0158 4124,9 8314,4 1,409

 

Vmn : [m3/kmol] Molares Volumen bei 0°C, 1,01325 bar

M : [kg/kmol] Molare Masse

Ri : [J/kgK] Spezielle Gaskonstante

Rm : [J/kgK] Allgemeine Gaskonstante

χ = Isentropenexponent, χ=cp/cv, Werte in der Tabelle bei 0°C und idealem Gaszustand

Anhand der Polynongleichung cp = a + bT + cT2 + dT3 [kJ/kgK]

kann die spezifische Wärmekapazität für konstanten Druck in einem begrenzten Temperaturbereich berechnet werden. Werte für die Konstanten a bis d finden Sie für verschiedene Gase hier:

Gas CO2 Luft O2 N2
Tmin [K] 200 250 250 250
Tmax [K] 590 600 760 775
a 0,443144 1,02251 0,929187 1,08756
b 1,68846E-03 -1,75903E-04 -3,21846E-04 -3,52343E-04
c -1,26874E-06 4,02136E-07 1,16635E-06 7,20138E-07
d 3,47034E-10 -4,86946E-11 -7,11728E-10 -2,81547E-10

Hieraus berechnete Werte für die spezifische Wärmekapazität in [kJ/kgK] bei konstantem Druck (1 bar) für verschiedene Temperaturen finden Sie hier.

T [k] CO2 Luft O2 N2
250 0,791 1,003 0,911 1,040
255 0,797 1,003 0,911 1,040
260 0,802 1,003 0,912 1,040
265 0,808 1,003 0,913 1,040
270 0,813 1,003 0,913 1,039
273,15 0,817 1,003 0,914 1,039
293,15 0,838 1,004 0,917 1,039
313,15 0,858 1,005 0,921 1,039
333,15 0,878 1,007 0,925 1,040
353,15 0,896 1,008 0,930 1,041
373,15 0,915 1,010 0,935 1,042
393,15 0,932 1,013 0,940 1,043
413,15 0,949 1,015 0,945 1,045
433,15 0,965 1,018 0,951 1,047
453,15 0,980 1,021 0,957 1,050
473,15 0,995 1,024 0,963 1,052
493,15 1,009 1,028 0,969 1,055
513,15 1,022 1,032 0,975 1,058
533,15 1,035 1,036 0,981 1,062
553,15 1,048 1,040 0,988 1,065
573,15 1,059 1,045 0,994 1,069

Wir haben für Sie weitere spezifische Wärmekapazitäten berechnet. Die Tabelle können Sie im unteren Bereich über den gekennzeichneten Button öffnen.

Alternativ bietet sich noch eine weitere Methode nach Shomate an:

cp° = a + bt + ct2 + dt3+ e/t2 [J/molK]

mit t=T/1000 ;

T: Absolute Temperatur; Celsius in Kelvin umrechnen

Werte für die Konstanten a bis e finden Sie für verschiedene Gase hier:

Gas Ar N2 CO2 O2
Bereich  298-6000K 100K-500K 298K-1400K 100K-700K
a 2,0786E+01 28,98641 24,99735 31,32234
b 2,825911E-07 1,853978 55,18696 -20,2353
c -1,464191E-07 -9,647459 -33,6913 57,86644
d 1,092131E-08 16,63537 7,948387 -36,5062
e -3,661371E-08 0,000117 -0,13663 -0,00737
Bereich  ---- 500K-2000K 1400K-6000K 700K-2000K
a ---- 19,50583 58,16639 30,03235
b ---- 19,88705 2,720074  8,77297
c ---- -8,598535  -0,4922 -3,98813
d ---- 1,369784 0,038844  0,78831
e ---- 0,527601  -6,4472  -0,7415

Zur Umrechnung der spezifischen Wärmekapazität von J/molK in kJ/kgK müssen die Ergebnisse der Shomate Gleichung durch die entsprechenden Molmasse des gerechneten Gases dividiert werden.

In der Tabelle unterhalb haben wir die Ergebnisse gemäß der Shomate Gleichung den Ergebnissen der Polynomgleichung für die Gase Stickstoff und Sauerstoff gegenübergestellt.

Gleichung Shomate Polynom Shomate Polynom
Temp. [K] N2 N2 O2 O2
298,15 1,040 1,039 0,918 0,918
300,15 1,040 1,039 0,919 0,918
313,15 1,040 1,039 0,921 0,921
333,15 1,041 1,040 0,925 0,925
353,15 1,041 1,041 0,929 0,930
373,15 1,042 1,042 0,934 0,935
393,15 1,044 1,043 0,939 0,940
413,15 1,045 1,045 0,944 0,945
433,15 1,047 1,047 0,950 0,951
453,15 1,049 1,050 0,956 0,957
473,15 1,052 1,052 0,963 0,963
493,15 1,055 1,055 0,969 0,969
513,15 1,058 1,058 0,976 0,975
533,15 1,061 1,062 0,982 0,981
553,15 1,065 1,065 0,989 0,988
573,15 1,069 1,069 0,995 0,994

Beachten Sie unbedingt, dass die Konstanten der Polynomgleichung nicht auf die Shomate Gleichung angewendet werden können. Umgekehrt gilt dies natürlich auch.

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